常用十大算法（三）— 动态规划算法
博客说明
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介绍
动态规划(Dynamic Programming)算法的核心思想是：将大问题划分为小问题进行解决，从而一步步获取最优解的处理算法
动态规划算法与分治算法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。
与分治法不同的是，适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是互相独立的。 ( 即下一个子阶段的求解是建立在上一个子阶段的解的基础上，进行进一步的求解 )
动态规划可以通过填表的方式来逐步推进，得到最优解
背包问题
思路
背包问题主要是指一个给定容量的背包、若干具有一定价值和重量的物品，如何选择物品放入背包使物品的价值最大。其中又分01背包和完全背包(完全背包指的是：每种物品都有无限件可用)
这里的问题属于01背包，即每个物品最多放一个。而无限背包可以转化为01背包。
算法的主要思想，利用动态规划来解决。每次遍历到的第i个物品，根据w[i]和v[i]来确定是否需要将该物品放入背包中。即对于给定的n个物品，设v[i]、w[i]分别为第i个物品的价值和重量，C为背包的容量。再令v[i][j]表示在前i个物品中能够装入容量为j的背包中的最大价值。
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| (1) v[i][0]=v[0][j]=0; //表示 填入表 第一行和第一列是0
(2) 当w[i]> j 时：v[i][j]=v[i-1][j] // 当准备加入新增的商品的容量大于 当前背包的容量时，就直接使用上一个单元格的装入策略
(3) 当j>=w[i]时： v[i][j]=max{v[i-1][j], v[i]+v[i-1][j-w[i]]}
// 当 准备加入的新增的商品的容量小于等于当前背包的容量,
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代码实现
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| package com.guizimo;
public class KnapsackProblem {
public static void main(String[] args) {
int[] w = {1, 4, 3};
int[] val = {1500, 3000, 2000};
int m = 4;
int n = val.length;
int[][] v = new int[n+1][m+1];
int[][] path = new int[n+1][m+1];
for(int i = 0; i < v.length; i++) {
v[i][0] = 0;
}
for(int i=0; i < v[0].length; i++) {
v[0][i] = 0;
}
for(int i = 1; i < v.length; i++) {
for(int j = 1; j < v[0].length; j++) {
if(w[i-1] > j) {
v[i][j] = v[i-1][j];
} else {
if(v[i - 1][j] < val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]]) {
v[i][j] = val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]];
path[i][j] = 1;
} else {
v[i][j] = v[i - 1][j];
}
}
}
}
for(int i =0; i < v.length;i++) {
for(int j = 0; j < v[i].length;j++) {
System.out.print(v[i][j] + " ");
}
System.out.println();
}
System.out.println("============================");
int i = path.length - 1;
int j = path[0].length - 1;
while(i > 0 && j > 0 ) {
if(path[i][j] == 1) {
System.out.printf("第%d个商品放入背包\n", i);
j -= w[i-1];
}
i--;
}
}
}
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